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Authors: Mario Livio

Tags: #Divulgación Científica

¿Es Dios un Matemático? (4 page)

BOOK: ¿Es Dios un Matemático?
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El historiador griego Herodoto
[24]
(ca. 485-425 a.C.) hablaba de Pitágoras como «el más capaz de los filósofos griegos», a lo que el filósofo y poeta presocrático Empédocles (ca. 492-432 a.C.) agregaba con admiración: «Pero entre ellos había un hombre de prodigiosos conocimientos, dotado de la más profunda capacidad de comprensión y maestro en todo tipo de artes; pues, cuando era su firme voluntad, podía fácilmente discernir cualquier verdad de las vidas de sus diez, no, veinte hombres».
[25]
Pero no causaba esta impresión a todos. En comentarios que parecen producto de alguna rivalidad personal, el filósofo Heráclito de Éfeso (ca. 535-475 a.C), aunque reconoce los amplios conocimientos de Pitágoras, agrega con desdén: «La erudición no enseña la sabiduría; si así fuera, sabios serían Hesíodo [un poeta griego que vivió alrededor del año 700 a.C] y Pitágoras».

Pitágoras y los primeros pitagóricos no eran matemáticos ni científicos en el sentido estricto. Más bien, el núcleo de su doctrina contenía una filosofía metafísica del concepto de
número.
Para los pitagóricos, los números eran entidades vivas y principios universales imbuidos en todo, desde los cielos a la ética de los hombres. En otras palabras, los números poseían dos aspectos diferentes y complementarios. Por un lado, tenían una existencia física perfectamente tangible; por otro, se trataba de fórmulas abstractas situadas en la base de todo. Por ejemplo, la
mónada
[26]
(el número 1) era tanto un generador de todos los demás números —una entidad tan real como el agua, el aire y el fuego, que formaba parte de la estructura del mundo físico—, como una idea, la unidad metafísica como origen de toda la creación. El historiador de la filosofía inglés Thomas Stanley (1625-1678) describió con gran belleza (y en inglés del siglo XVII) los dos significados que los pitagóricos asociaban a los números:

El número es de dos clases: la Intelectual (o inmaterial) y la Ciencial. La Intelectual es esa sustancia eterna de Número, que Pitágoras, en su
Discurso acerca de los Dioses,
afirmaba que era el
principio más providencial de los Cielos y de la Tierra, y la naturaleza que los hace
uno…
Esto es lo que se denomina
el principio, la fuente, la raíz de todas las cosas …
El Número Ciencial es el que Pitágoras define como
la extensión y producción en acto de las razones seminales que se encuentran en la Mónada o en un grupo de Mónadas
.
[27]

Así, los números no eran simples herramientas para denotar cantidades: los números debían ser descubiertos, y eran los agentes formativos que actuaban en la naturaleza. Todo el universo, desde los objetos materiales como la Tierra a los conceptos abstractos como la justicia, era número de extremo a extremo.

Que alguien quedase fascinado por los números
[28]
no es quizá sorprendente de por sí. Después de todo, incluso los números más simples, los que aparecen en la vida cotidiana, tienen propiedades interesantes. Por ejemplo, los días del año: 365. Es fácil comprobar que 365 es la suma de tres cuadrados consecutivos: 365 = 10
2
+ ll
2
+ 12
2
. Pero no acaba ahí: 365 es también igual a la suma de los dos cuadrados siguientes (365 = 13
2
+ 14
2
). O fijémonos en los días del mes lunar: 28. Este número es la suma de
todos
sus divisores (los números que pueden dividirlo sin dejar resto): 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los números que cumplen esta propiedad en especial se denominan
números perfectos
(los cuatro primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8.218). Observe que 28 es también la suma de los cubos de los dos primeros números impares: 28 = l
3
+ 3
3
. Incluso un número tan vulgar como 100 posee sus propias peculiaridades: 100 = l
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
.

Muy bien, así que los números pueden ser fascinantes. De todos modos, uno se pregunta cuál puede ser el origen de la doctrina pitagórica de los números. ¿Cómo surgió la idea, no sólo de que los números estaban presentes en todas las cosas, sino de que todas las cosas
eran
números? Pitágoras no dejó nada escrito, o sus escritos fueron destruidos, así que no se trata de una pregunta de fácil respuesta. La impresión que ha sobrevivido sobre los razonamientos de Pitágoras se basa en unos pocos fragmentos preplató-nicos y en comentarios muy posteriores y de menor fiabilidad efectuados por filósofos platónicos y aristotélicos. La imagen que se obtiene al unir este mosaico de pistas sugiere que la obsesión de los pitagóricos por los números puede deberse a su preocupación por dos actividades aparentemente aisladas: los experimentos con música y la observación de los cielos.

Para comprender cómo se materializó esta misteriosa conexión entre los números, los cielos y la música, debemos empezar por la interesante observación de que los pitagóricos poseíanuna forma de
representarlos
números mediante guijarros o puntos, Por ejemplo, los números naturales 1, 2, 3, 4… los representaban con guijarros ordenados en forma triangular (como se muestra en la figura 1).

Concretamente, al triángulo que se forma con los cuatro primeros números enteros (un triángulo de diez guijarros) lo denominaron
tetraktys
(que significa «Cuaternario» o «con la cualidad de cuatro»), y para los pitagóricos simbolizaba la perfección y los elementos que la componen, según está documentado en una historia de Pitágoras escrita por el autor satírico griego Luciano (120-180 d.C.) Pitágoras pide a una persona que cuente.
[29]
Mientras lo hace, «1, 2, 3, 4», Pitágoras lo interrumpe: «¿Lo ves? Lo que para ti es 4 es en realidad 10, y nuestro juramento». El filósofo neoplató-nico Jámblico (ca. 250-325 d.C.) revela que el juramento pitagórico era, efectivamente:

Juro por aquel que transmitió a nuestra alma la Tetraktys en la cual se encuentran la fuente y la raíz de la eterna Naturaleza.
[30]

¿Por qué esa veneración por la Tetraktys? Porque, a los ojos de los pitagóricos del siglo VI a.C, parecía esbozar la naturaleza del universo entero. En geometría, la disciplina que impulsó la revolución del pensamiento en Grecia, el número uno representaba un punto [ • punto], dos representaba una línea [ •—• línea], tres representaba una superficie [^A^triángulo], y cuatro representaba una figura tetraédrica tridimensional [^/^tetraedro]. Así, el Tetraktys parecía englobar todas las dimensiones percibidas del espacio.

Pero eso no fue más que el principio. El Tetraktys aparecía de forma inesperada incluso en el enfoque científico de la música. Se suele atribuir a Pitágoras y los pitagóricos el descubrimiento de que, al dividir una cuerda según los enteros consecutivos se producen intervalos armónicos y consonantes, lo cual se puede ver en la interpretación de cualquier cuarteto de cuerda. Cuando se pulsan dos cuerdas similares al mismo tiempo,
[31]
el sonido resultante es agradable si la proporción entre las cuerdas es simple. Por ejemplo, las cuerdas de igual longitud (relación 1:1) producen el unísono; una relación 1:2 produce la octava; 2:3 genera la quinta perfecta; y 3:4, la cuarta perfecta. Así vemos que, además de los atributos espaciales que lo abarcan todo, el Tetraktys podía representar también las proporciones matemáticas subyacentes a la armonía de la escala musical. Para los pitagóricos, esta unión aparentemente mágica de espacio y música suponía un poderoso símbolo, y les ofrecía una sensación de
harmonía
(«correspondencia exacta») del
Kosmos
(«el bello orden de las cosas»).

¿Y cuál es el papel de los cielos en todo esto? Pitágoras y los pitagóricos desempeñaron en la historia de la astronomía un papel que, aún sin ser esencial, no era nada desdeñable. Fueron de los primeros en sostener que la forma de la Tierra era una esfera (probablemente a causa de su percepción de la esfera como superior desde un punto de vista estético y matemático). Probablemente fueron también los primeros en afirmar que los planetas, el Sol y la Luna se mueven por sí solos de forma independiente de oeste a este, en dirección opuesta a la rotación (aparente) diaria de la esfera de estrellas fijas. Estos entusiastas observadores del cielo nocturno no podían ignorar las propiedades más evidentes de las constelaciones: la forma y el número. Cada constelación se caracteriza por el
número de estrellas
que la componen y por la
figura geométrica
que estas estrellas forman. Pero estas dos características eran, precisamente, los ingredientes esenciales de la doctrina pitagórica de los números, como se manifiesta en la Tetraktys. Los pitagóricos quedaron tan cautivados por estas relaciones entre figuras geométricas, constelaciones y armonías musicales con los números, que éstos se convirtieron para ellos tanto en los ladrillos con los que estaba construido el universo como en los principios en los que se basaba su propia existencia. No es sorprendente que la categórica máxima de Pitágoras fuese: «El número es la esencia de
todas
las cosas». (La cursiva es mía.)

En dos de las observaciones de Aristóteles podemos hallar hasta qué punto los pitagóricos se tomaban en serio esta máxima. En su tratado
Metafísica
hallamos: «…los llamados Pitagóricos se dedicaron por de pronto a las matemáticas, e hicieron progresaresta ciencia. Embebidos en este estudio, creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todos los seres». En otro pasaje, Aristóteles describe de forma muy gráfica la veneración a los números y el papel preponderante de la Tetraktys: «…conforme al orden inventado por Eurito [un discípulo del pitagórico Filolao], cada número es la causa de alguna cosa, éste, por ejemplo, del hombre, aquél del caballo, porque se puede,
siguiendo el mismo procedimiento que los que reducen los números a figuras, al triángulo, al cuadrilátero,
representar las formas de las plantas por las operaciones del cálculo». La frase «los que reducen los números a figuras, al triángulo, al cuadrilátero» alude tanto a la Tetraktys como a otro fascinante constructo pitagórico: el
gnomon.

La palabra
gnomon
(«indicador»)
[32]
surge del nombre de un dispositivo astronómico similar a un reloj de sol, utilizado en Babilonia para medir el tiempo. Este aparato lo introdujo en Grecia el maestro de Pitágoras, el filósofo natural Anaximandro (ca. 611-547 a.C.). No hay duda de que el tutor había transmitido al discípulo sus ideas acerca de la geometría y su aplicación a la cosmología, el estudio del universo en su conjunto. Más adelante, el término
gnomon
se utilizó para denominar un instrumento para dibujar ángulos rectos, similar a una escuadra de carpintero, o para la figura en ángulo recto que, sumada a un cuadrado, forma un cuadrado mayor (figura 2).

Obsérvese que, al añadir siete guijarros dispuestos en forma de ángulo recto (un
gnomon)
a un triángulo de 3 x 3 se obtiene un cuadrado compuesto por dieciséis (4 x 4) guijarros. Se trata de la representación figurativa de la propiedad siguiente: en la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9…, la suma de cualquier cantidad de números sucesivos (empezando por el 1) da siempre como resultado un número cuadrado. Por ejemplo: 1 = l
2
; 1 + 3 = 4 = 2
2
; 1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2
; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
, etc. Para los pitagóricos, esta relación íntima entre el
gnomon
y el cuadrado al que «abraza» constituía un símbolo del saber, en donde el
cognosciente
«abraza» lo
conocido.
Los números no se limitaban, pues, a ser una descripción del mundo físico, sino que se suponía que eran asimismo la raíz de los procesos mentales y emocionales.

El número cuadrado asociado con los
gnomons
podría haber sido también el precursor del famoso
Teorema de Pitágoras.
Esta célebre afirmación matemática establece que, en cualquier triángulo rectángulo (figura 3).

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