El hombre que calculaba (14 page)

El sabio geómetra reconoció que es inútil luchar contra el Destino, y dijo a su hija:

—Escribiré un libro que perpetuará tu nombre y perdurarás en el recuerdo de los hombres durante un tiempo mucho más largo del que vivirían los hijos que pudieron haber nacido de tu malograda unión.

La obra de Bhaskhara se hizo célebre y el nombre de Lilavati, la novia malograda, sigue inmortal en la historia de las Matemáticas.

Por lo que se refiere a las Matemáticas el “Lilavati” es una exposición metódica de la numeración decimal y de las operaciones aritméticas entre números enteros. Estudia minuciosamente las cuatro operaciones, el problema de la elevación al cuadrado y al cubo, enseña la extracción de la raíz cuadrada y llega incluso al estudio de la raíz cúbica de un número cualquiera. Aborda después las operaciones sobre números fraccionarios, con la conocida regla de la reducción de las fracciones a un común denominador.

Para los problemas, adoptaba Bhaskhara enunciados graciosos e incluso románticos:

He aquí uno de los problemas del libro de Bhaskhara:

Amable y querida Lilavati de ojos dulces como la tierra y delicada gacela, dime cuál es el número que resulta de la multiplicación de 135 por 12.

Otro problema igualmente interesante que figura en el libro de Bhaskhara, se refiere al cálculo de un enjambre de abejas:

La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en la flor de Kadamba, la tercera en una flor de Silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números voló sobre una flor de Krutaja, y una abeja quedó sola en el aire, atraída por el perfume de un jazmín y de un pandnus. Dime, bella niña, cuál es el número de abejas que formaban el enjambre.

Bhaskhara mostró en su libro que los problemas más complicados pueden ser presentados de una forma viva y hasta graciosa.

Y Beremiz, siempre trazando figuras en la arena, presentó al príncipe de Lahore varios problemas curiosos recogidos del “Lilavati”.

¡Infeliz Lilavati!

Al repetir el nombre de la desdichada muchacha, recordé los versos del poeta:

Tal como el océano rodea
a la Tierra, así tú, mujer rodeas el corazón del mundo con el abismo de tus lágrimas.

Donde se narran los elogios que el Príncipe Cluzir hizo del Hombre que Calculaba. Beremiz resuelve el problema de los tres marineros y descubre el secreto de una medalla. La generosidad del maharajá de Lahore.

El elogio que hizo Beremiz de la ciencia hindú, recordando una página de la Historia de las Matemáticas, causó óptima impresión en el espíritu del príncipe Cluzir Schá. El joven soberano, impresionado por la disertación, declaró que consideraba al Calculador como un gran sabio, capaz de enseñar el Algebra de Bhaskhara a un centenar de brahmanes.

—He quedado encantado, añadió, al oír esa leyenda de la infeliz Lilavati que perdió su novio por culpa de una perla del vestido. Los problemas de Bhaskhara citados por el elocuente Calculador son realmente interesantes y presentan, en sus enunciados, ese “espíritu poético” que tan raramente se encuentra en las obras de Matemáticas. Lamento solo que el ilustre matemático no haya hecho la menor referencia al famoso problema de los tres marineros, incluido en muchos libros y que se encuentra hasta ahora sin solución.

—Príncipe magnánimo, respondió Beremiz. Entre los problemas de Bhaskhara por mí citados no figura en verdad el viejo problema de los tres marineros. No cité ese problema por la simple razón de que solo lo conozco por una cita vaga, incierta y dudosa, e ignoro su enunciado riguroso.

—Yo lo conozco perfectamente, repuso el príncipe, y tendrás un gran placer en recordar ahora esta cuestión matemática que tanto ha preocupado a los algebristas.

Y el príncipe Cluzir Schá narró lo siguiente:

—Un navío que volvía de Serendib con un cargamento de especias, se vio sorprendido por una violenta tempestad.

La embarcación habría sido destruida por la furia de las olas si no hubiera sido por la bravura y el esfuerzo de tres marineros que, en medio de la tempestad, manejaron las velas con pericia extremada.

El capitán queriendo recompensar a los denodados marineros, les dio cierto número de
catils
. Este número, superior a doscientos, no llegaba a trescientos. Las monedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, al desembarcar, el almojarife las repartiera entre los tres valerosos marineros.

Aconteció sin embargo que durante la noche uno de los marineros despertó, se acordó de las monedas y pensó: “Será mejor que quite mi parte. Así no tendré que discutir y pelearme con mis compañeros”. Se levantó sin decir nada a sus compañeros y fue donde se hallaba el dinero. Lo dividió en tres partes iguales, más notó que la división no era exacta y que sobraba un
catil
. “Por culpa de esta miserable moneda pensó, habrá mañana una discusión entre nosotros. Es mejor tirarla”. El marinero tiró la moneda al mar y volvió cauteloso a su camastro.

Se llevaba su parte y dejaba en el mismo lugar la que correspondía a sus compañeros.

Horas después, el segundo marinero tuvo la misma idea. Fue al arca en que se había depositado el premio colectivo e ignorando que otro de sus compañeros había retirado su parte, dividió ésta en tres partes iguales. Sobraba también una moneda. El marinero, para evitar futuras discusiones, pensó de igual modo que lo mejor era echarla al mar, y así lo hizo. Luego regresó a su litera llevándose la parte a que se creía con derecho.

El tercer marinero, ¡Oh casualidad! tuvo también la misma idea. De igual modo, ignorando por completo que se le habían anticipado sus dos compañeros, se levantó de madrugada y fue a la caja de las monedas. Dividió las que hallara en tres partes iguales, mas el reparto también resultaba inexacto. Sobraba una moneda y, para no complicar el caso, el marinero optó también por tirarla al mar. Retiró su tercera parte y volvió tranquilo a su lecho.

Al día siguiente, llegada la hora de desembarcar, el almojarife del navío encontró un puñado de monedas en la caja. Las dividió en tres partes iguales y dio luego a cada uno de los marineros una de estas partes. Pero tampoco esta vez fue exacta la división. Sobraba una moneda que el almojarife se guardó como paga de su trabajo y de su habilidad. Desde luego, ninguno de los marineros reclamó pues cada uno de ellos estaba convencido de que ya había retirado de la caja la parte de dinero que le correspondía.

Pregunta final: ¿Cuántas monedas había al principio? ¿Cuánto recibió cada uno de los marineros?

El Hombre que Calculaba, notando que la historia narrada por el príncipe había despertado gran curiosidad entre los nobles presentes, encontró que debía dar solución completa al problema. Y habló así:

—Las monedas, que eran, según se dijo, más de 200 y menos de 300, debían ser, en principio, 241.

El primer marinero las dividió en tres partes iguales, sobrándole una que tiró al mar.

241 : 3 = 80 cociente 1 resto

Retiró una parte y se acostó de nuevo.

En la caja quedaron pues:

241 – (80 + 1) = 160 monedas

El segundo marinero procedió a repartir entre las 160 monedas dejadas por su compañero. Mas al efectuar la división, resultó que le sobraba una, optando también por arrojarla al mar.

160 : 3 = 53 cociente 1 resto

Embolsó una parte y regresó a su lecho. En este momento, en la caja solo quedaron:

160 – (53 + 1 ) = 106 monedas

A su vez el tercer marinero repartió las 106 monedas entre tres iguales, comprobando que le sobraba una moneda. Por las razones indicadas decidió tirarla al mar.

106 : 3 = 35 cociente 1 resto

Seguidamente, retiró una parte y se acostó.

Dejaba en la caja:

106 – (35 + 1 ) = 70 monedas

Estas fueron halladas a la hora del desembarque por el almojarife, quien obedeciendo las órdenes del capitán procedió a un reparto equitativo entre los tres marineros. Mas al efectuar la división observó que después de obtener tres partes de 23 monedas, le sobra una.

70 : 3 = 23 cociente 1 resto

Entrega pues veintitrés monedas a cada marinero y opta por quedarse la moneda sobrante.

En definitiva, el reparto de los 241 monedas se efectuó de la manera siguiente:

1° marinero 80 + 23 =103

2° marinero 53 + 23 = 76

3° marinero 35 + 23 = 58

Almojarife 1

Arrojadas al mar
3

Total 241

Y enunciada la parte final del problema, Beremiz se calló.

El príncipe de Lahore sacó de su bolsa una medalla de plata y dirigiéndose al Calculador habló así:

—Por la interesante solución dada al problema de los tres marineros veo que eres capaz de dar explicación a los enigmas más intrincados de los números y del cálculo. Quiero pues que me aclares el significado de esta moneda.

Esta pieza, continuó el príncipe, fue grabada por un artista religioso que vivió varios años en la corte de mi abuelo. Debe de encerrar algún enigma que hasta ahora no consiguieron descifrar ni los magos ni los astrólogos. En una de las caras aparece el número 128 rodeado de siete pequeños rubíes. En la otra –dividida en cuatro partes— aparecen cuatro números:

7, 21, 2, 98

Conviene señalar que la suma de estos cuatro números es igual a 128. ¿Pero cuál es en verdad la significación de esas cuatro partes en que fue dividido el número 128?

Beremiz recibió la extraña medalla de manos del príncipe. La examinó en silencio durante un tiempo, y después habló así:

—Esta medalla, ¡oh príncipe! Fue grabada por un profundo conocedor del misticismo numérico. Los antiguos creían que ciertos números tenían un poder mágico. El “tres” era divino, el “siete” era el número sagrado. Los siete rubíes que vemos aquí revelan la preocupación del artista en relacionar el número 128 con el número 7. El número 128 es, como sabemos, susceptible de descomposición en un producto de 7 factores iguales a 2:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Ese número 128 puede ser descompuesto en cuatro partes:

7, 21, 2 y 98

que presentan la siguiente propiedad:

La primera, aumentada en 7, la segunda disminuida en 7, la tercera multiplicada por 7 y la cuarta dividida por 7 darán el mismo resultado; vean:

7 + 7 = 14

21 – 7 = 14

2 x 7 = 14

98 : 7 = 14

Esta medalla debe de haber sido usada como talismán, pues contiene relaciones que se refieren todas al número 7, que para los antiguos era un número sagrado.

Se mostró el príncipe de Lahore encantado con la solución presentada por Beremiz, y le ofreció, como regalo, no solo la medalla de los siete rubíes, sino también una bolsa de monedas de oro.

El príncipe era generoso y bueno.

Pasamos seguidamente a una gran sala donde el poeta Iezid iba a ofrecer un espléndido banquete a sus convidados.

El prestigio de Beremiz poco a poco iba en aumento; buena prueba de ello fue que le destinaron un sitio más distinguido del que puede esperarse de su condición.

Algunos de los invitados no supieron disimular la contrariedad. En cuanto a mí me relegaron al último lugar.

Cómo Beremiz da su segunda clase de Matemáticas. Número y sentido del número. Las cifras. Sistema de numeración. Numeración decimal. El cero. Oímos nuevamente la delicada voz de la invisible alumna. El gramático Doreid cita un poema.

Terminada la comida a una señal del jeque Iezid, se levantó el calculador. Había llegado la hora señalada para la segunda clase de Matemáticas. La alumna invisible ya se hallaba a la espera del profesor.

Después de saludar al príncipe y a los jeques que charlaban en el salón, Beremiz, acompañado de una esclava, se encaminó hacia el aposento ya preparado para la lección.

Me levanté también y acompañé al calculador, pues pretendía aprovechar la autorización que me había sido concedida y asistir a las lecciones dadas a la joven Telassim.

Uno de los presentes, el gramático Doreid, amigo del dueño de la casa, mostró también deseos de oír las lecciones de Beremiz y nos siguió, dejando la compañía del príncipe Cluzir Schá. Era Doreid hombre de mediana edad, muy risueño, de rostro anguloso y expresivo.

Atravesamos una riquísima galería cubierta de bellas alfombras persas y, guiados por una esclava circasiana de asombrosa belleza, llegamos finalmente a la sala donde Beremiz tenía que dar la clase de Matemáticas. El tapiz rojo que ocultaba a Telassim días atrás había sido sustituido por otro azul que presentaba en el centro un gran heptágono estrellado.

El gramático Doreid y yo nos sentamos en un rincón de la sala, cerca de la ventana que se abría al jardín, Beremiz se acomodó como la primera vez, en el centro de la sala, sobre un amplio cojín de seda. A su lado, en una mesita de ébano, había un ejemplar de el Corán. La esclava circasiana y otra persa de ojos dulces y sonrientes se colocaron junto a la puerta. El egipcio encargado de la puerta personal de Telassim se apoyó en una columna.

Después de la oración, Beremiz habló así:

—Ignoramos cuando la atención del hombre despertó a la idea del “número”. Las investigaciones realizadas por los filósofos se remontan a tiempos que ya no se perciben, ocultos por la niebla del pasado.

Los que estudian la evolución del número demuestran que incluso entre los hombres primitivos ya estaba la inteligencia humana dotada de una facultad especial que llamaremos “sentido del número”. Esa facultad permite reconocer de forma puramente visual si una reunión de objetos fue aumentada o disminuida, esto es, si sufrió modificaciones numéricas.

No se debe confundir el “sentido del número” con la facultad de contar. Sólo la inteligencia humana puede alcanzar el grado de abstracción capaz de permitir el acto de contar, aunque el sentido del número se observa ya en muchos animales.

Algunos pájaros, por ejemplo, pueden contar los huevos que dejan en el nido, distinguiendo “dos” de “tres”. Algunas avispas llegan a distinguir “cinco” y “diez”.

Los salvajes de una tribu del norte de Africa conocían todos los colores del arco iris y daban a cada color un nombre. Pues bien, dicha tribu, no conocía la palabra “color”. De la misma forma, muchos lenguajes primitivos presentan palabras para designar “uno”, “dos”, “tres”, etc. y no encontramos en esos idiomas un vocablo especial para designar de manera general al “número”.