El cisne negro (46 page)

Pasemos, pues, a describir la geometría mandelbrotiana.

Los triángulos, los cuadrados, los círculos y los otros conceptos geométricos que a muchos nos hacen bostezar en clase pueden ser ideas hermosas y puras, pero parece que están más en la mente de los arquitectos y diseñadores, en los edificios de arte moderno y en los maestros, que en la naturaleza. Y está bien que así sea, aun cuando la mayoría de nosotros no seamos conscientes de ello. Las montañas no son triángulos ni pirámides; los árboles no son círculos; las líneas rectas casi nunca se ven. La madre naturaleza no asistió a clases de geometría en el instituto ni leyó los libros de Euclides de Alejandría. Su geometría es irregular, pero tiene una lógica propia y fácil de comprender.

He dicho que parece que estamos inclinados de forma natural a platonificar, y a pensar exclusivamente desde la perspectiva del material estudiado: nadie, sea un albañil o un filósofo natural, puede escapar fácilmente de la esclavitud de tal condicionamiento. Pensemos que Galileo, por otro lado demoledor de falsedades, escribió lo siguiente:

El gran libro de la naturaleza está siempre abierto ante nuestros ojos y en él está escrita la verdadera filosofía. [...] Pero no lo podremos leer si antes no hemos aprendido la lengua y los caracteres con que está escrito. [...] Está escrito en lenguaje matemático, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.

¿Estaba ciego? Ni siquiera el gran Galileo, con toda su supuesta independencia de criterio, fue capaz de contemplar la madre naturaleza con una mirada limpia. Imagino que tendría ventanas en su casa y que se aventuraría a salir de ella de vez en cuando; debería haber sabido que los triángulos no se encuentran fácilmente en la naturaleza. Se nos lava el cerebro con mucha facilidad.

O somos ciegos o incultos, o ambas cosas. Resulta evidente que la geometría de la naturaleza no es la de Euclides, pero nadie, casi nadie, se ha dado cuenta.

Esta ceguera (física) es idéntica a la falacia lúdica que nos lleva a pensar que los casinos representan la aleatoriedad.

Pero hagamos una descripción de los fractales. Luego veremos cómo se vinculan con lo que llamamos leyes potenciales, o leyes escalables.

Fractal es una palabra que acuñó Mandelbrot para describirla geometría de lo áspero y roto (del latín fractus, raíz de fracturado), ha fractalidad es la repetición de patrones geométricos a diferentes escalas, desvelando así versiones cada vez más pequeñas de sí mismos. Las partes pequeñas se parecen, en cierto grado, al todo. Intentaré demostrar en este capítulo que los fractales se aplican a la rama de la incertidumbre que debería llevar el nombre de Mandelbrot: la aleatoriedad mandelbrotiana.

Las venas de las holas parecen ramas; las ramas, árboles; las piedras, pequeñas montañas. Cuando un objeto cambia de tamaño no se produce un cambio cualitativo. Si contemplamos la costa de Gran Bretaña desde un avión, se parece a lo que vemos cuando la observamos en un mapa a través de una lupa. Este tipo de autoafinidad implica que se puede usar una regla de iteración aparentemente corta y simple —sea en un ordenador o, de forma más aleatoria, en la madre naturaleza— para construir formas de una complejidad aparentemente grande. Esto puede resultar muy útil para los gráficos realizados por ordenador, pero lo más importante es que así es como funciona la naturaleza. Mandelbrot diseñó el objeto matemático hoy conocido como conjunto de Mandelbrot, el objeto más famoso de la historia de las matemáticas. Se hizo popular entre los seguidores de la teoría del caos porque genera imágenes de una creciente complejidad, utilizando para ello una regla recursiva aparentemente minúscula (recursivo significa que algo se puede reaplicar a sí mismo de manera infinita). Podemos contemplar el conjunto en resoluciones cada vez más pequeñas sin llegar nunca al límite: seguiremos viendo formas reconocibles. Las formas nunca son las mismas, pero tienen una afinidad mutua, un gran parecido.

Estos objetos desempeñan un papel en la estética. Consideremos las siguientes aplicaciones:

Artes visuales: La mayoría de objetos generados por ordenador se basan hoy en alguna versión de los fractales mandelbrotianos. También podemos ver fractales en la arquitectura, la pintura y muchas obras de arte visual, aunque no han sido incorporados de forma consciente por el autor.

Música: Tarareemos despacio las cuatro notas con que se inicia la Quinta sinfonía de Beethoven: ta-ta-ta-ta. Luego sustituyamos cada nota por la misma secuencia de cuatro notas, de modo que acabamos en un compás de dieciséis notas. Veremos (o, mejor, oiremos) que cada onda más pequeña se parece a la mayor original. Bach y Mahler, por ejemplo, componían submovimientos que se parecen a los movimientos mayores de los que forman parte.

Poesía: La poesía de Emily Dickinson, por ejemplo, es fractal: lo grande se parece a lo pequeño. Según un crítico, tiene «un ensamblaje elaborado conscientemente de dicciones, metros, retórica, gestos y tonos».

Al principio, los fractales hicieron de Benoít M. un paria entre la clase dirigente de las matemáticas. Los matemáticos franceses se horrorizaron. ¿Qué? ¿Imágenes? Mon dieu! Era como pasar una película porno a una asamblea de devotas abuelas ortodoxas orientales en mi ancestral pueblo de Amioun. Así, Mandelbrot pasó un tiempo como refugiado intelectual en el centro de estudios de IBM, en el norte de Nueva York. Era una situación de «a la m. el dinero», ya que IBM dejaba que hiciera lo que le apeteciese.

Pero las personas corrientes (sobre todo los estrafalarios informáticos) entendieron el tema. El libro de Mandelbrot, La geometría fractal de la naturaleza, causó un revuelo extraordinario cuando apareció, hace veinticinco años. Se extendió a través de los círculos artísticos y llegó a los estudios de estética, al diseño arquitectónico, incluso a grandes aplicaciones industriales. A Benoít M. se le llegó a ofrecer un puesto de profesor de medicina. Al parecer, los pulmones son mutuamente semejantes. A sus charlas acudía todo tipo de artistas, lo que le valió el apodo de la «estrella de rock de las matemáticas». La era del ordenador lo ayudó a convertirse en el matemático más influyente de la historia, en lo que a la aplicación de su obra se refiere, mucho antes de que fuera aceptado en la torre de marfil. Veremos que, además de su universalidad, su obra tiene una peculiaridad inusual: destaca por lo fácil que resulta entenderla.

Unas palabras sobre su biografía. Mandelbrot llegó a Francia desde Varsovia en 1936, a los doce años. Debido a las vicisitudes de una vida clandestina durante la ocupación nazi de Francia, se libró de parte de la educación gala convencional, con sus repetitivos ejercicios de álgebra, y en gran medida fue un autodidacta. Luego recibió una profunda influencia de su tío Szolem, destacado miembro de la clase dirigente matemática francesa y titular del Collège de France. Benoít M. se afincó más tarde en Estados Unidos, donde trabajó durante la mayor parte de su vida como científico industrial, con algunos trabajos académicos transitorios y variados.

El ordenador desempeñó dos papeles en la nueva ciencia que Mandelbrot ayudó a concebir. En primer lugar, los objetos fractales, como hemos visto, se pueden generar mediante una regla simple aplicada a sí misma, lo cual los hace ideales para la actividad automática de un ordenador (o de la madre naturaleza). En segundo lugar, en la generación de las intuiciones visuales hay una dialéctica entre el matemático y los objetos generados.

Veamos ahora cómo todo esto nos lleva a la aleatoriedad. De hecho, Mandelbrot inició su carrera con la probabilidad.

Observo la alfombra de mi estudio. SÍ la examino con el microscopio, veré una superficie muy accidentada. Si la miro con lupa, la superficie será más lisa, sin dejar de ser desigual en buena medida. Pero cuando la miro estando de pie, parece uniforme: casi tan lisa como una hoja de papel. La alfombra en el nivel de la vista corresponde a Mediocristán y la ley de los grandes números: veo la suma de las ondulaciones, y éstas se planchan. Es como la aleatoriedad gaussiana; la razón de que mi taza de café no dé saltos es que la suma de todas sus partículas móviles se suaviza. Asimismo, llegamos a las certezas mediante la adición de pequeñas incertidumbres gaussianas: ésta es la ley de los grandes números.

La gaussiano no es similar a sí mismo, y de ahí que mi taza de café no vaya saltando por mi mesa.

Pensemos ahora en una excursión montaña arriba. Por mucho que ascendamos, la superficie de la tierra seguirá siendo irregular. Así ocurre incluso a una altura de 9.000 metros. Cuando sobrevolamos los Alpes, seguimos viendo montañas irregulares, y no pequeñas piedras. Por eso algunas superficies no son de Mediocristán, y el hecho de cambiar la resolución no las hace mucho más lisas. (Observemos que este efecto sólo desaparece cuando alcanzamos alturas mucho mayores. Nuestro planeta le parecerá liso a quien lo observe desde el espacio, pero porque es demasiado pequeño. Si fuera un planeta mayor, entonces tendría montañas que harían del Himalaya un enano y, para que pareciera más liso, habría que observarlo desde una distancia mayor. Del mismo modo, si la población del planeta fuera mayor, aun conservando la misma riqueza media, sería probable que existiera alguien cuyo patrimonio superara en mucho al de Bill Gates.)

Las figuras 11 y 12 ilustran lo dicho. Un observador que mire la primera imagen podría pensar que se ha caído al suelo la tapa del objetivo de una cámara fotográfica.

Recordemos lo que decíamos de la costa de Gran Bretaña. Si la contemplamos desde el avión, sus contornos no son tan distintos de los que vemos en la costa. El cambio en la escala no altera las formas ni su grado de homogeneidad.

Figura 11. Aparentemente, se ha caído al suelo la tapa de un objetivo. Veamos ahora la página siguiente.

Figura 12. El objeto no es realmente una tapa. Estas dos fotografías ilustran la invarianza de la escala: el terreno es fractal. Comparémoslo con objetos fabricados por el hombre, como un coche o una casa, Fuente: profesor Stephen W. Wheatcraft, University of Nevada, Reno.

;Qué tiene que ver la geometría fractal con la distribución de la riqueza, el tamaño de las ciudades, los beneficios en los mercados financieros, el número de balas en una guerra o el tamaño de los aviones? Unamos los puntos.

La clave es que el fractal tiene mediciones numéricas o estadísticas que (?n cierto modo) se conservan a través de las escalas: la ratio es la misma, a diferencia de lo que ocurre con el modelo gaussiano. En la figura 13 se presenta otra visión de esta autosimilitud. Como veíamos en el capítulo 15, los superricos son parecidos a los ricos, sólo que más ricos: la riqueza es independiente de la escala o, dicho con mayor precisión, depende de una escala desconocida.

En la década de 1960, Mandelbrot expuso sus ideas sobre los precios de las materias primas y los valores financieros a la clase dominante de la economía, y todos los economistas financieros se sintieron apasionados. En 1963, el por entonces decano de la University of Chicago Graduate School of Business, George Shultz, le ofreció una cátedra. Es el mismo George Shultz que después fue secretario de Estado de Ronald Reagan.

Shultz lo llamó una tarde para retirar la oferta.

Figura 13: La montaña estadística fractal pura. El grado de desigualdad será el mismo en las dieciséis subsecciones del gráfico. En el mundo gaussiano, las disparidades en la riqueza (o cualquier otra cantidad) disminuyen cuando observamos el extremo superior, de ahí que los multimillonarios sean más iguales entre sí que los millonarios, y los millonarios más iguales en su relación mutua que la clase media. Esta falta de igualdad en todos los niveles de riqueza es, dicho en dos palabras, la autosimilitud estadística.