Introducción a la ciencia II. Ciencias Biológicas (82 page)

Consideremos el plano inclinado con más detalle, en el diagrama:

La longitud del plano inclinado es AB, mientras que su altura hasta el extremo superior es AC. La razón de AC a AB es el seno del ángulo
x
, usualmente abreviado como sen
x
.

El valor de esta razón —esto es, de sen x— puede ser obtenido de forma aproximada construyendo triángulos con ángulos particulares y midiendo realmente la altura y longitud implicadas en cada caso. O puede calcularse mediante técnicas matemáticas con toda precisión, y los resultados pueden incorporarse en una tabla. Usando dicha tabla, podemos hallar, por ejemplo, que sen 10º es aproximadamente igual a 0,17356, que sen 45º es aproximadamente igual a 0,70711, y así sucesivamente.

Hay dos importantes casos particulares. Supongamos que el plano «inclinado» es precisamente horizontal. El ángulo x es entonces cero, y como la altura del plano inclinado es cero, la razón de la altura a su longitud será también cero. En otras palabras, sen 0º = 0. Cuando el plano «inclinado» es precisamente vertical, el ángulo que forma la base es un ángulo recto, o de 90º. Su altura es entonces exactamente igual a su longitud, de forma que la razón de uno al otro es exactamente 1. Por tanto, sen 90º = 1.

Volvamos ahora a la ecuación que muestra que la velocidad de una bola rodando hacia abajo por un plano inclinado es proporcional al tiempo:

Se puede probar empíricamente que el valor de
k
varía con el seno del ángulo, de forma que:

(donde
k'
es utilizado para indicar una constante que es diferente de
k
).

(En honor a la verdad, el papel del seno en relación con el plano inclinado fue estudiado, con anterioridad a Galileo, por Simon Stevinus, quien también llevó a cabo el famoso experimento de dejar caer diferentes masas desde una cierta altura, un experimento tradicional, pero erróneamente atribuido a Galileo. Sin embargo, si Galileo no fue realmente el primero en experimentar y medir, sí lo fue en inculcar al mundo científico, de forma indeleble, la necesidad de experimentar y medir, y ésa es ya una gloria suficiente.)

En el caso de un plano inclinado completamente vertical, el sen
x

se convierte en sen 90º, que es 1, también en la caída libre.

Se deduce que
k'
es el valor de
k
en la caída libre bajo la total atracción de la gravedad, que ya hemos convenido en representar por
g
. Podemos sustituir
g
por
k'
, y tendremos para cada plano inclinado:

La ecuación para la velocidad de un cuerpo rodando sobre un plano inclinado es, en consecuencia:

Sobre una plano horizontal con sen
x
= sen 0º = 0, la ecuación para la velocidad se transforma en:

Esto es otra manera de expresar que una bola sobre un plano horizontal, partiendo de un estado de reposo, permanecerá inmóvil a pesar del paso del tiempo. Un objeto en reposo tiende a permanecer en él, y así sucesivamente. Eso es parte de la Primera Ley del Movimiento, y se deduce de la ecuación de la velocidad en el plano inclinado.

Supongamos que la bola no parte del reposo, sino que tiene un movimiento inicial antes de empezar a rodar. Supongamos, en otras palabras, que tenemos una bola moviéndose a lo largo de un plano horizontal a 1,5 m por segundo, y que, de pronto, se halla en el extremo superior de un plano inclinado y empieza a rodar hacia abajo por él.

El experimento prueba que su velocidad después de eso es mayor de 1,5 m por segundo, en cada instante, que la que debería tener si hubiera empezado a rodar hacia abajo por el plano partiendo del reposo. En otras palabras, la ecuación para el movimiento de una bola rodando hacia abajo por un plano inclinado puede expresarse, en una forma más completa, como sigue:

donde
v
₀
es la velocidad inicial anterior. Si un objeto parte del reposo, entonces
v
₀
es igual a 0 y la ecuación se convierte en la que teníamos antes:

Si consideramos a continuación un objeto con una velocidad inicial sobre un plano horizontal, de forma que ese ángulo
x
es 0°, la ecuación queda:

o, puesto que sen 0º es 0: